使用变分法计算氦原子基态能

氦原子是一个典型的多电子系统，其基态能量可以通过变分法来计算。在变分法中，我们尝试构造一个波函数的参数化形式，并通过最小化能量期望值来确定波函数的最佳参数。

1. 氦原子的哈密顿量

氦原子的哈密顿量可以写为：

\[ H = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \nabla_1^2 \nabla_2^2 \right) \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} \frac{1}{r_2} \right) \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}} \]

其中，\( \nabla_1^2 \) 和 \( \nabla_2^2 \) 分别是两个电子的动能算符，\( r_1 \) 和 \( r_2 \) 是两个电子与核的距离，\( r_{12} \) 是两个电子之间的距离。第一项代表电子的动能，第二项代表核吸引的屏蔽库伦势，第三项代表电子间的库伦排斥势。

2. 波函数的选取

我们尝试通过变分法寻找氦原子的基态波函数。一个常用的参数化形式是：

\[ \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = e^{\alpha(r_1 r_2)} \]

其中，\( \alpha \) 是待定参数，用来优化波函数的拟合程度。

3. 计算能量期望值

波函数的能量期望值可以通过以下公式计算：

\[ E[\alpha] = \frac{\int \Psi^* H \Psi \, d\mathbf{r}_1 \, d\mathbf{r}_2}{\int \Psi^* \Psi \, d\mathbf{r}_1 \, d\mathbf{r}_2} \]

将波函数 \( \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) \) 代入哈密顿量 \( H \) 中，并进行积分，可以得到能量的期望值。这个过程通常需要数值计算来完成，因为解析积分比较复杂。

4. 数值优化

通过数值优化方法，可以找到使能量期望值最小化的最佳参数 \( \alpha \)。这个参数即为波函数的最优参数，得到的能量即为氦原子的基态能量。

《张朝阳的物理课》中的巧解屏蔽库伦势

在物理教材《张朝阳的物理课》中，可能会有一些巧妙的方法来简化或近似计算屏蔽库伦势的影响。例如，可以通过平均场近似来处理电子之间的相互作用，或者通过某些数学技巧简化复杂的积分过程。这些方法可以帮助更快速地得到氦原子基态能的近似值，尽管精确性可能不如变分法的数值计算。

使用变分法计算氦原子基态能需要通过合适的波函数参数化形式，结合数值计算方法来优化能量期望值，以获得最精确的结果。《张朝阳的物理课》中的方法可能会提供一些有趣的见解和计算技巧，但基本原理仍然是通过变分法和数值计算来确定基态能量。

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